Optymalizacja rozmieszczenia materiałów w sprężystych płytach cienkich

Charakterystyka:

Optymalizacja rozmieszczenia materiałów w sprężystych płytach cienkich

Autor: Grzegorz Dzierżanowski

Ilość stron	134
Okładka	miękka
Format	B5
Rok wydania	2010

Podstawowym celem optymalizacji konstrukcji inżynierskich jest wybór najlepszego z możliwych układu nośnego na podstawie ustalonych z góry kryteriów. Na przykład, w zagadnieniach statyki naturalne jest żądanie maksymalnej sztywności układu przy zadanym ciężarze lub minimalnego ciężaru przy ustalonej sztywności, jedno zaś z popularnych zagadnień dynamiki polega na wyznaczeniu maksymalnej wartości pierwszej częstości drgań własnych przy określonym z góry ciężarze konstrukcji. Zadanie optymalizacji płyt cienkich analizowane w tym opracowaniu wpisuje się w pierwszy z wymienionych nurtów badań.
 
Opracowanie dotyczy optymalnego projektowania dźwigarów powierzchniowych ze względu na minimum podatności. Omówiono w nim metodę rozwiązania zagadnienia opartą na teorii homogenizacji dopuszczającej występowanie materiałów kompozytowych z mikrostrukturą w pewnych obszarach konstrukcji. Uzyskane wyniki mogą być teoretyczną podstawą praktycznych realizacji inżynierskich.

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Zagadnienie jednowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Podstawowe wiadomości z zakresu analizy matematycznej . . . . . . 13
1.2. Zastępcze cechy konstytutywne materiału niejednorodnego . . . . . . 15
1.3. Skalarne zadanie optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Elementy teorii materiałów niejednorodnych . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. H-zbieżność ciągów funkcji konstytutywnych . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Homogenizacja w ośrodkach periodycznych . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. Płyto-tarcza periodyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2. Zastępcze związki konstytutywne płyto-tarczy . . . . . . . . . 30
2.4. G-domknięcie zbioru kompozytów dwuskładnikowych . . . . . . . . . 32

3. Kompozyty z mikrostrukturą sekwencyjną . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Konstytutywny tensor zastępczy kompozytu pierwszego rzędu . . . . 35
3.1.1. Warunki ciągłości pól tensorowych w kompozycie pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2. Przykład teorii tarcz PSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3. Przykład teorii płyt Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.4. Wariacyjna metoda wyznaczania tensora zastępczego . . . . . 40
3.1.5. Homogenizacyjna metoda wyznaczania tensora zastępczego . 42
3.2. Kompozyty wyższego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1. Kompozyty sekwencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2. Kompozyty klasy L+mU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3. Kompozyty klasy L−mU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Płyty w płaskim stanie naprężenia (tarcze PSN) . . . . . . . . . . 50
4.1. Relaksacja zagadnienia minimum podatności . . . . . . . . . . . . . 50
4.2. Równoważne sformułowania zadania minimalizacji podatności . . . . 55
4.2.1. Sformułowanie naprężeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2. Sformułowanie przemieszczeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Rozwiązanie zadania minimum podatności . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.1. Szacowanie gęstości energii komplementarnej . . . . . . . . . 57
4.3.2. Związki konstytutywne tarczy optymalnej . . . . . . . . . . . 60
4.3.3. Optymalne kompozyty sekwencyjne . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Płyty Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1. Relaksacja zagadnienia minimum podatności . . . . . . . . . . . . . 64
5.2. Rozwiązanie zadania minimum podatności . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1. Szacowanie gęstości energii komplementarnej . . . . . . . . . 67
5.2.2. Związki konstytutywne płyty optymalnej . . . . . . . . . . . 69
5.2.3. Optymalne kompozyty sekwencyjne . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Płyto-tarcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1. Relaksacja zagadnienia minimum podatności . . . . . . . . . . . . . 72
6.2. Rozwiązanie zadania minimum podatności . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2.1. Szacowanie gęstości energii komplementarnej . . . . . . . . . 75
6.2.2. Związki konstytutywne płyto-tarczy . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.3. Aproksymacja optymalnego tensora konstytutywnego . . . . 83

7. Przykłady projektów optymalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.1. Algorytm numerycznej realizacji zagadnienia minimum . . . . . . . . 86
7.1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.1.2. Procedura minimalizacji funkcjonału podatności . . . . . . . 88
7.1.3. Algorytm aktualizacji rozmieszczenia materiałów . . . . . . . 90
7.2. Optymalne projekty tarcz PSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2.1. Opis zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2.2. Tarcza wspornikowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2.3. Tarcza swobodnie podparta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.4. Tarcza w kształcie litery L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3. Optymalne projekty płyt Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.1. Opis zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.2. Płyta utwierdzona na obwodzie . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.3. Płyta swobodnie podparta na obwodzie . . . . . . . . . . . . 110
7.4. Optymalny projekt płyto-tarczy 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 115

Załącznik A – Podstawowe wiadomości z zakresu algebry tensorów 118
Załącznik B – Uzasadnienie związku konstytutywnego optymalnej tarczy PSN . . . . . .  . . . 123
Załącznik C – Dowód quasi-afiniczności funkcji f(N, M) = hN : (T0M)i . . . . . . . 127
Bibliografia . . . . . . . . . 130